贝叶斯公式
由结果反推原因的概率公式
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公式展示
P(Bᵢ|A)=P(A|Bᵢ)P(Bᵢ)/ΣⱼP(A|Bⱼ)P(Bⱼ)
后验概率=似然×先验/证据
字母含义
字母
含义
P(Bᵢ)
先验概率(原因Bᵢ的概率)
P(A|Bᵢ)
似然(原因Bᵢ导致结果A的概率)
P(Bᵢ|A)
后验概率(结果A下原因Bᵢ的概率)
公式详解
贝叶斯公式由英国数学家贝叶斯提出，用于在已知结果的条件下反推各原因的概率。
公式
：P(Bᵢ|A)=P(A|Bᵢ)P(Bᵢ)/ΣⱼP(A|Bⱼ)P(Bⱼ)
两事件形式
：P(B|A)=P(A|B)P(B)/[P(A|B)P(B)+P(A|¬B)P(¬B)]
先验概率
：P(Bᵢ)，实验前对原因的认识
后验概率
：P(Bᵢ|A)，看到结果A后对原因的修正
应用
：垃圾邮件过滤、医学诊断、机器学习、风险评估
分母是全概率公式P(A)
典型例题
例1：疾病检测
发病率0.01，检测准确率95%，阳性时实际患病概率。
P(病|阳)=0.95×0.01/(0.95×0.01+0.05×0.99)≈16.1%
例2：两事件
P(B)=0.3,P(A|B)=0.8,P(A|¬B)=0.2，求P(B|A)。
=0.8×0.3/(0.8×0.3+0.2×0.7)=0.24/0.38≈63.2%
例3：三原因
B₁,B₂,B₃概率0.5,0.3,0.2，导致A的概率0.2,0.5,0.7，求P(B₃|A)。
=0.7×0.2/(0.1+0.15+0.14)=0.14/0.39≈35.9%
常见误区与注意事项
分母是全概率
分母ΣP(A|Bⱼ)P(Bⱼ)=P(A)，不要漏掉某个原因。
先验后验区分
P(Bᵢ)是先验，P(Bᵢ|A)是后验。
结果可能出乎意料
罕见病即使检测阳性，实际患病概率可能不高(基础率谬误)。
常见问题
贝叶斯公式有什么用？
由结果反推原因，广泛用于诊断、分类、机器学习。
先验概率和后验概率什么区别？
先验是看到结果前的概率，后验是看到结果后修正的概率。
贝叶斯公式分母是什么？
分母是全概率P(A)=ΣP(A|Bⱼ)P(Bⱼ)。
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